R
Roby
Guest
VISTO CHE IL "FIBONACCI" IN QUESTO FORUM VIENE CHIAMATO SPESSO IN CAUSA,HO FATTO UNA RICERCA SUL WEB.CIO'CHE SEGUE E' ESCLUSIVAMENTE A SCOPO "DIDATTICO" E SPERO CHE SIA DI VOSTRO GRADIMENTO!!
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La successione di Fibonacci è una sequenza di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F0:= 0 ed F1:= 1, e chiedendo che per ogni successivo sia Fn := Fn-1 + Fn-2. Il termine F0 viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F1:= 1.
La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci e i termini di questa successione sono chiamati numeri di Fibonacci. L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; le coppie fertili, dal secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese; avremo che se partiamo con una singola coppia dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.
I primi 41 numeri di Fibonacci sono:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (=F10),
89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 (=F20),
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040 (=F30),
1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155 (=F40)
Nella OEIS di Neil Sloane la successione di Fibonacci ha la sigla A000045. I numeri di Fibonacci godono di una gamma stupefacente di proprietà, si incontrano nei modelli matematici di svariati fenomeni e sono utilizzabili per molti procedimenti computazionali; essi inoltre posseggono varie generalizzazioni interessanti. A questi argomenti viene espressamente dedicato un periodico scientifico, The Fibonacci Quarterly.
Nelle formule che seguono talora scriveremo F
invece di Fn.
La successione di Fibonacci possiede moltissime proprietà di grande interesse. Certamente la proprietà principale, e maggiormente utile nelle varie scienze, è quella per cui il rapporto Fn / Fn-1 al tendere di n all'infinito tende al numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea o numero di Fidia. Quindi:
\lim_{n \to \infty}{F_n \over F_{n-1}}=\,\phi\,
dove
\,\phi={1+\sqrt 5 \over 2}=1,6180339887...\, .
Curioso anche notare come, proseguendo via via per la sequenza, il rapporto risulti alternativamente maggiore e minore della costante limite.
Naturalmente il rapporto tra un numero di Fibonacci e il suo successivo tende al reciproco della sezione aurea 1/\phi = 0,6180339887...\, .
Conviene anche ricordare che:
a) \phi - 1 = 1/\phi\,
b) 1 - \phi = -1/\phi = {1-\sqrt 5 \over 2}
in accordo con la definizione di sezione aurea come il numero positivo tale che \phi = {1 + 1/\phi}\, , equazione che, quando vincolata alla condizione \phi > 0\,, ammette l'unica soluzione \phi = {1+\sqrt 5 \over 2} .
Si noti poi come l'opposto del reciproco del numero di Fidia -1/\phi\, che compare nella b) costituisca la seconda soluzione, a segno negativo, dell'equazione algebrica riportata nella definizione. Esso espone proprietà altrettanto interessanti di quelle del suo omologo positivo.
Ragionamenti analoghi possono essere applicati per ottenere altri rapporti irrazionali costanti; per esempio dividendo ogni numero per il secondo successivo si ottiene 0.382 e dividendo ogni numero per il terzo successivo si ottiene 0.236 , mentre dividendo ogni numero per il secondo precedente si ottiene 2.618 e dividendo ogni numero per il ter
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La successione di Fibonacci è una sequenza di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F0:= 0 ed F1:= 1, e chiedendo che per ogni successivo sia Fn := Fn-1 + Fn-2. Il termine F0 viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F1:= 1.
La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci e i termini di questa successione sono chiamati numeri di Fibonacci. L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; le coppie fertili, dal secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese; avremo che se partiamo con una singola coppia dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.
I primi 41 numeri di Fibonacci sono:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (=F10),
89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 (=F20),
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040 (=F30),
1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155 (=F40)
Nella OEIS di Neil Sloane la successione di Fibonacci ha la sigla A000045. I numeri di Fibonacci godono di una gamma stupefacente di proprietà, si incontrano nei modelli matematici di svariati fenomeni e sono utilizzabili per molti procedimenti computazionali; essi inoltre posseggono varie generalizzazioni interessanti. A questi argomenti viene espressamente dedicato un periodico scientifico, The Fibonacci Quarterly.
Nelle formule che seguono talora scriveremo F
invece di Fn.La successione di Fibonacci possiede moltissime proprietà di grande interesse. Certamente la proprietà principale, e maggiormente utile nelle varie scienze, è quella per cui il rapporto Fn / Fn-1 al tendere di n all'infinito tende al numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea o numero di Fidia. Quindi:
\lim_{n \to \infty}{F_n \over F_{n-1}}=\,\phi\,
dove
\,\phi={1+\sqrt 5 \over 2}=1,6180339887...\, .
Curioso anche notare come, proseguendo via via per la sequenza, il rapporto risulti alternativamente maggiore e minore della costante limite.
Naturalmente il rapporto tra un numero di Fibonacci e il suo successivo tende al reciproco della sezione aurea 1/\phi = 0,6180339887...\, .
Conviene anche ricordare che:
a) \phi - 1 = 1/\phi\,
b) 1 - \phi = -1/\phi = {1-\sqrt 5 \over 2}
in accordo con la definizione di sezione aurea come il numero positivo tale che \phi = {1 + 1/\phi}\, , equazione che, quando vincolata alla condizione \phi > 0\,, ammette l'unica soluzione \phi = {1+\sqrt 5 \over 2} .
Si noti poi come l'opposto del reciproco del numero di Fidia -1/\phi\, che compare nella b) costituisca la seconda soluzione, a segno negativo, dell'equazione algebrica riportata nella definizione. Esso espone proprietà altrettanto interessanti di quelle del suo omologo positivo.
Ragionamenti analoghi possono essere applicati per ottenere altri rapporti irrazionali costanti; per esempio dividendo ogni numero per il secondo successivo si ottiene 0.382 e dividendo ogni numero per il terzo successivo si ottiene 0.236 , mentre dividendo ogni numero per il secondo precedente si ottiene 2.618 e dividendo ogni numero per il ter
