Spesso si pensa alla probabilità come a qualcosa di statico, come ad esempio: "La probabilità di ottenere un 5 lanciando un dado è 1/6".
Ma trovo che il tema della probabilità abbia più significato se ci si chiede cosa accade mentre la si lascia evolvere, se la si studia come un processo , piuttosto che come un valore isolato.
Esplorando come una variabile casuale cambia nel tempo, possiamo notare la manifestazione delle leggi fondamentali della natura. La probabilità inizia a comportarsi quasi come una sostanza fisica! Ha delle correnti, obbedisce alle leggi di conservazione e può stabilizzarsi in qualcosa che assomiglia a uno stato stazionario di non equilibrio.
Questo può essere paragonato al linguaggio utilizzato dai fisici per descrivere il flusso di calore attraverso una barra di metallo o la diffusione di sostanze chimiche attraverso una membrana cellulare.
In altre parole, la probabilità segue le leggi della termodinamica.
Particelle ondulate
E' argomento noto, trattato ampiamente nella letteratura del contesto, ma è stato un punto cruciale sia per la comprensione che per la distinzione tra caos e casualità.
Nel XIX secolo, il botanico Robert Brown osservò al microscopio i granuli di polline sospesi in acqua e notò che si muovevano.
Brown non capiva perché ciò accadesse, ma Einstein alla fine collegò l'ondeggiamento di queste particelle al moto termico casuale delle molecole d'acqua che collidevano con il grano da ogni direzione alla velocità di milioni di urti al secondo.
Ma quando allontaniamo sufficientemente lo sguardo, tramite il meccanismo fornito da una distribuzione di probabilità, quel movimento apparentemente casuale si uniforma. Mentre la posizione del granello è imprevedibile da un istante all'altro, la nuvola di probabilità che descrive dove potrebbe trovarsi è deterministica.
Leggi sulla conservazione
Quasi tutte le grandezze che interessano ai fisici, come la massa, la carica elettrica, l'energia, ecc., tendono a obbedire alla stessa regola, piuttosto elementare: non appaiono né scompaiono, si limitano a spostarsi. Questa idea ha una forma matematica chiamata equazione di continuità:
tasso di variazione della densità = - tasso di flusso in uscita
Oppure, nel linguaggio dei fisici:
∂ /∂t = -∂J / ∂x
Qui ∂ rappresenta la quantità di "materia" presente in un determinato punto, e J è il flusso, o corrente, che determina la velocità con cui tale "materia" si muove attraverso quel punto. Questa equazione può descrivere in modo analogo il flusso dell'acqua in un tubo, la propagazione del calore attraverso una barra e il movimento della carica elettrica in un filo.
Ma la cosa interessante è che la densità di probabilità obbedisce esattamente alla stessa equazione.
La probabilità “attuale”
Per una particella soggetta a moto browniano, eventualmente con una certa deriva costante, la densità di probabilità P(x,t) di trovare la particella nella posizione x al tempo t soddisfa:
∂P / ∂t = -∂J /∂x, dove J = vP - D ∂P /∂x
Questa è l'equazione di Fokker-Planck, e strutturalmente è identica all'equazione di continuità sopra riportata. P rappresenta la densità. J rappresenta la corrente.
Il termine D*∂P / ∂x è la legge di diffusione di Fick, e la sua interpretazione intuitiva è che la probabilità fluisce da dove è più concentrata a dove è più rarefatta.
Esattamente come un gas che si espande nel vuoto, lo scossone casuale della particella fa sì che la sua nuvola di probabilità si diffonda verso l'esterno, lontano dalle regioni ad alta concentrazione.
La diffusione del calore, la diffusione di sostanze chimiche e la diffusione della probabilità descrivono il nostro meccanismo di livellamento: un numero enorme di piccole spinte casuali che, mediate, danno origine a un flusso uniforme e (abbastanza) prevedibile .
Passando al termine vP, possiamo interpretarlo come l'evoluzione della probabilità in funzione della nostra deriva. Se la deriva è costante v, la probabilità viene trasportata lungo il percorso come una corrente in un fiume trascina una boa a valle, anche se la boa si muove casualmente da un lato all'altro.
Infine, mettendo insieme tutti questi elementi, otteniamo J, la probabilità "attuale". In questo caso, misura il flusso di probabilità anziché il flusso di materia .
Flusso contro densità
Mi piacerebbe pensare a questa relazione tra probabilità e termodinamica come a qualcosa di più di una semplice analogia superficiale.
Supponiamo che la nostra particella si stia diffondendo all'interno di una regione delimitata, e che i confini siano assorbenti: toccando uno dei bordi, il processo si interrompe. Questo potrebbe rappresentare una molecola alla ricerca di un sito di legame, o il prezzo di un'azione che raggiunge una determinata soglia (o qualsiasi processo con una condizione di arresto intrinseca).
Nell'esatto istante in cui la nuvola di probabilità della particella tocca uno di quei confini, la corrente J che scorre attraverso quel confine rappresenta la velocità con cui la probabilità viene assorbita in quel punto.
Lo ripeterò, perché è davvero incredibile: la corrente che attraversa il confine, al tempo t, è la densità di probabilità di essere assorbita a quel confine esattamente al tempo t.
Inoltre, se si desidera conoscere la probabilità totale che la particella sfugga attraverso quel particolare confine (a differenza dell'altro, se esiste più di una via d'uscita), non è necessario alcun nuovo strumento. Basta sommare la corrente che attraversa quel confine per tutto il tempo:
probabilità totale di uscire attraverso questo confine = ∂ (corrente attraverso quel confine) dt su tutto il tempo
Quindi, la domanda "quale risultato è vincente?" diventa la domanda "quanta roba in totale è uscita attraverso la condizione particolare che l'ha oggettivata?"
Equilibrio, stato stazionario di non equilibrio
In termodinamica, l'equilibrio significa essenzialmente che ogni corrente si è estinta. Nulla scorre da nessuna parte, nel complesso. Ad esempio, se si lascia una tazza di caffè fuori abbastanza a lungo, raggiungerà la temperatura ambiente e poi vi rimarrà. Il calore smette di muoversi.
A mio parere, il non equilibrio è molto più interessante. Descrive situazioni in cui le correnti persistono indefinitamente, anche quando la distribuzione complessiva smette di cambiare. Un fiume può avere un livello dell'acqua perfettamente costante mentre l'acqua, in modo del tutto evidente, continua a scorrere al suo interno. Questo è ciò che definiremmo uno stato stazionario di non equilibrio.
Anche gli spazi di probabilità possono farlo.
Consideriamo una particella che viene periodicamente e casualmente riportata a una posizione iniziale fissa. Ripetiamo questo processo ancora e ancora. Anche quando la distribuzione di probabilità complessiva si stabilizza su una forma fissa, la corrente sottostante non si arresta mai: la probabilità fluisce costantemente verso l'esterno per diffusione e viene costantemente reimmessa nel punto di ripristino. Quindi la nostra forma è costantemente stabile, ma il flusso non lo è. Questo è, ancora una volta, uno stato stazionario di non equilibrio.
Il fatto che il ripristino rompa la simmetria dell'inversione temporale (è possibile distinguere tra il processo che procede in avanti e quello che procede all'indietro, perché i ripristini sono salti improvvisi e unidirezionali) ha un altro parallelismo in termodinamica. È la stessa caratteristica che distingue la nostra tazza di caffè dal raffreddamento a temperatura ambiente.
La teoria della probabilità, nella sua forma assiomatica moderna, fu sviluppata da Kolmogorov negli anni '30 come una disciplina di matematica pura; in sostanza, si trattava di teoria degli insiemi e teoria della misura in un contesto più formale. Non vi fu mai alcun requisito che la probabilità si comportasse come un fluido, seguendo le leggi della termodinamica.
Ma quando lasciamo evolvere una distribuzione di probabilità e studiamo tale processo (invece di concentrarci solo sulla variabile casuale sottostante), possiamo osservare leggi di conservazione, correnti, stati stazionari simili e irreversibilità temporale.
Ciò si verifica perché la stessa equazione differenziale, l'equazione di diffusione, "casualmente" governa sia la propagazione del calore attraverso un solido sia la propagazione della verosimiglianza attraverso uno spazio campionario.
Mi rifiuto di credere (come tanti altri prima di me) che sia solo una coincidenza. Sia la termodinamica che la probabilità descrivono concetti così fondamentali per la nostra comprensione della realtà tanto da ritenere che questa prospettiva non sia affatto banale. Ed e' qualcosa da tenere ben presente, almeno alla luce delle attuali conoscenze.
P.S. Nelle formule sopra esposte, il segno "*" e il segno "/" sono quelli usati (e abusati) nei vari linguaggi di programmazione per, rispettivamente, il segno dell'operatore moltiplicazione e per il segno dell'operatore divisione, allo scopo di renderle interpretabili per l'esecuzione delle diverse operazioni possibili con i diversi sistemi di elaborazione elettronica delle informazioni.