Buongiorno
Da analista mi era capitato di spiegare la tavola settenaria ad alcuni amici appassionati, partendo dallo studio di Manna. Avevo ricostruito tutto da zero per controllare, e se non ricordo male combaciava perfettamente con quello che aveva scritto lui.
La regola è una sola. Il successivo di un numero è n × 7 modulo 90. Il precedente è n × 13, che è la stessa cosa al contrario, perché 7 × 13 fa 91 e 91 modulo 90 è 1. Il complemento è 91 − n. Quando il resto viene 0 si legge 90, come d'uso.
Da qui esce tutto il resto senza aggiungere niente, compresa la rotazione che Manna descrive a parole: il centrale e l'estremo di destra salgono in alto, l'estremo di sinistra scende al centro.
Le rotazioni che si chiudono al dodicesimo passo sono l'ordine di 7 modulo 90. Anche l'osservazione sulle triple ha una spiegazione diretta. Manna nota che in ogni quadratino i numeri di sinistra stanno nella tripla 1-4-7, come il numero centrale, e quelli di destra nella 3-6-9. I numeri di sinistra e quello centrale appartengono tutti alla stessa famiglia, e la moltiplicazione per 7 non cambia la tripla figurale perché 7 diviso 3 dà resto 1. I numeri di destra sono i complementi a 91, e anche 91 diviso 3 dà resto 1: quindi il complemento di un numero della tripla 1-4-7 cade sempre nella 3-6-9. Attenzione, resta la tripla, non la figura. Lungo la catena la figura gira su 1, 7, 4, ma sempre dentro la 1-4-7. È aritmetica, e Manna la chiama per nome: un regolo calcolatore dell'aritmetica dell'orologio a modulo 90.
I sottoinsiemi sono studi di Manna, come è già stato ricordato qui.
Lui ne isola uno da dodici e scrive che restava da verificare le caratteristiche delle altre famiglie. Ho semplicemente completato quel conto su tutti e 90 i numeri: le famiglie sono venti. Quattro da dodici numeri, sei da quattro, quattro da tre e sei numeri che moltiplicati per 7 restano se stessi, cioè 15, 30, 45, 60, 75 e 90. Tutte dalla stessa regola, e insieme coprono i 90 numeri una volta ciascuno.
Anche la regolarità delle triple vale per tutte e venti le famiglie, non solo per questa. Cambia solo quale tripla tocca a sinistra e quale a destra: nelle famiglie dei multipli di 3 le due si scambiano, e in quelle della tripla 2-5-8 sinistra e destra cadono nella stessa.
Vedi l'allegato 2319911
Sopra ci sono tutte e venti, disegnate con lo stesso criterio. Quella riquadrata in rosso è la più conosciuta.
Vedi l'allegato 2319912
E qui il calcolo del sottoinsieme più discusso, quello che contiene 1 e 7. Disponendo i dodici numeri in ordine crescente sul cerchio, la moltiplicazione per 7 produce salti sempre uguali: +1, +6, −2, +3, ripetuti tre volte. Da lì escono le forme che si vedono nei disegni. Dipendono però dall'ordine in cui si dispongono i numeri sul cerchio: cambia la disposizione e cambiano le forme, con gli stessi numeri e la stessa regola.
Qui arriva il punto che conta, e lo dico senza polemica perché riguarda la tavola, non chi la studia.
C'è una riga dell'articolo che secondo me spiega perché da trent'anni si cerca una soluzione. Manna definisce il sottoinsieme e poi scrive: "Indubbiamente, devono corrispondere a determinate regolarità che si verificano nel corso delle estrazioni".
Quell'indubbiamente non è dimostrato e nell'articolo non c'è nessuna verifica a sostegno. È un'ipotesi, presentata come un fatto. Tutto il lavoro fatto dopo è partito da lì, ed è per questo che la ricerca non si chiude mai: la premessa non è mai stata messa alla prova.
E la premessa non regge, per un motivo semplice. La tavola è statica. Non riceve niente dalle estrazioni e non cambia mai. È un traduttore fisso: qualunque numero le dai, lo traduce sempre allo stesso modo, oggi come vent'anni fa. Se un'estrazione è imprevedibile, tradurla non la rende prevedibile. Cambiare nome ai numeri non cambia quello che esce dalla ruota.
Per questo la soluzione non si trova. Non perché sia nascosta bene o perché serva ancora un pezzo, ma perché nella tavola non esiste un punto in cui le estrazioni entrino. I calcoli sono completi già adesso e parlano solo di se stessi.
Questo non toglie niente al lavoro fatto. La struttura è reale, è elegante e conoscerla è una cosa che vale. Semplicemente è geometria, non previsione, e le due cose non comunicano.
Mattia73
Sono d'accordissimo su tutto 
e anche sulla nostra eventuale piccola parte contributiva di ricerca in tal senso 
Ottima domanda, Tom! Hai centrato il punto esatto e il parallelo che hai fatto con le "spie genetiche" e le "terzine simmetriche" è geniale, perché è esattamente il modo giusto per concettualizzare la cosa.
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